在绩我们说上须确界一定圆是上界吗曾，大家应口该都了解法，有朋友状想问上界辆和上确界泡的定义，训这究竟是偿怎么一回贺事呢？让率我们详细验了解一下赞吧。
1、所侮以有界函迅数的界，典不是唯一充的，一旦捞有界，界卖可以有无剧数个。叠
2、 薄应该意思捡就是说，算有界函数寻的上界和抹下界都不党是唯一的炎。是这个叫意思吧。况函数的上达界的定义刺：如果函痛数f（x暗）始终满辟足f（x析）≤m（m是常数刻）那么m 由就称为f点（x）的讽上界。函理数的下界洪的定义：睛如果函数f（x）梢始终满足f（x）隔≥n（n 膜是常数）些那么n就 前称为函数极的下界。网
3角、也就是挤说根据定泼义，只有坑既有专上疾界又属有橡下界的函棉数，才有栏资格称为遣有界函数坝。同样根瞒据定义，秃所有有界直函数，必寿然既有上卸界又有下侍界。这就全和根据定井义，自然具数必然不辉为负数一扎样，定义拜是这样规油定。
4、有低界函数必垫须同时有诗上界和下 脂界。只有方上界或只题有下界的详函数仍是喉无界函数陆。遵
董1、然后加就是简单移理解一下杯上界与下拐界的意义税，你可以瘦将他们理旧解为最大域植，最小浩值，比如享[1，2渡]的上界宪就是2，抓下界就是乙1，准确个的讲任何身大于2的万数都是这广个区间的姨上界。任揉何小于1谜的数都是镜这个区间奏的下界，茄在高等数厘学中，1派称为这个再区间的下省却界，2示称为这个庙区间的上黑却界。坟
2、 庆若y是B谎的上界（巩下界），非并且对B被的所有上胀界（下界时）x，都恼有y≤x渗，则称y朋是B的最灾小上界（贩最大下界茫）。举例虎说明：给碗定C，≤贞的Hasse图如狸图所示： 别下图中最缩小上界即关上确界分预别为6，芒6，24数，五；最沿大下界即患下确界分裤别为1，固1，6，段1。
3、上买标：n表 逗示上界，但指的是偏拆序集中大按于或等于烤它的子集霜中一切元此素的元素璃。下标：i表示下筐界，如果旬一个实数天集合M， 丽有一个实症数S，使轰得M中任絮何数都大竞于S，那博么就称S惹是M的一姜个下界。杏
4遭、若存在苦数M（L漂），使得只对每一个x∈D有狱：号什郎 骑扔 （x仙）≤M（x）≥L 郊）则称在D上有上十（下）界 亡的函数，M（L）挖称为在D锤上的一个 封上（下）日界。例子介：正弦函任数sin冻副巧 脑 x 和模余弦函数cos 湖 x为R上 躲的有界函浇数，因为单对于每个x∈R都赠有|sin 监圣 棒 x|疯≤1和|cos 绒 x|≤1 妙。权
香5、上界剃和下界都从可以是任锁意实数（端包括负数骄），一个蓬集合可以刷有无数个墙上界、下诱界。在这旨无数个上晌界中，如讲果有一个物最小的上戴界，就称室为M的上蛋确界；如把果有一个诉最大的下秘界，就称覆为M的下雹确界。这灵都是课本谈上的，请治认真听课陈。铅
煎6、上界煌的最小元距就叫最小绳上界；下晚界的最大澡元叫最大抢下界；就批像在这个睁图中，如诸果找b，d的最小卡上界，就 赛要先找到b，d的滥上界，b秀，d上界 拾的点只有f。上界甚中的最小舱元只能是f；如果毁找d，e 流的最大下尘界，d，e的下界寄有a，b 红，c。店
膏1、上确芽界的证明无 践 （1）搜每一个 x 兵 ∈ X 昏 满足景不等式 x 爪 ≤ m；（2 常）笛 对于润任何的 投ε 0， 剑 存在有x 栋 ∈ X， 元 使 蜡 x M 御 - ε 胸 则数 M 特 = sup{x} 刘 川 称富为集合X快的上确界佳。储
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2、 罚首先，我惜们来证明x是集合E的上界伐。任何c 者点若在E 朝内，由于姥区间套的区右侧无E宴的元素，梨我们得知c必然小梁于或等于bn。随烘着右侧极界限趋于无 使穷，c必悉然小于等 均于x，这蚊就确保了x作为上人界的性质苏。再进一戏步，我们育证明x是赚上确界。 版
3、证 令明上确界塘的方法如替下：设有误上界非空桌数集A，冠α为A的舟上界，则蒜对任意x么∈A，有x≤α。刃根据致密崖性定理， 整有界数列糖必有收敛唱子列。记仰[α]=蛾{β∈R赖|β≤α悔}，则[态α]是有越界数列，呈故存在收匆敛子列极碌限lim切β，使得limβ鹿≤α。由狂于lim亮β是[α 养]的上确尿界，对任杂意x∈A叶，有x≤limβ愿，所以limβ是A的上确金界。
确界原帘理（ supremum 辣 赴 and 忍 infimum 禽 帖 principle 窑 初 饭 ）是且刻画实数危连续性的哨命题之一易。设S为回非空数集押。若S有马上界，则S必有上 假确界；若S有下界零，则S必 巾有下确界拴。有界集街定义龙蹲 定甜义一：设S为R的 映一个数集销。融
虹确界原理仍：确界原体理（supremumandinfimumprinciple）是刻钥画实数连 蜓续性的命 翠题之一。 拼设S为非 棍空数集。 看若S有上 略界，则S 停必有上确缩界；若S芹有下界，掩则S必有顺下确界。宽有界集定业义：设S礼为R的一佣个数集。租
确振界原理是妥形式逻辑散学的基本医原理之一俭。形式逻猜辑学是一越种逻辑学灵分支，主用要研究语刺句、命题克、证明以词及逻辑概匙念的形式孙特征，而码不是其具舰体内容。融在形式逻疤辑学中，昂确界原理共被认为是桑最基本的并原理之一债。确界原模理不仅在帘逻辑学中蓝有着重要密的作用，搜在其他领弄域也有着披广泛的应鼻用。
mm）茂（x∈E贩）（xm寇），则m陆=supE（其中留条件b等淋价于mm夏则m非E 誓的上界）变。又设m厂，m均为E的上确推界，则有m≥m，m≥m，抓故m=m弹，上确界 面具有唯一占性。同理途可得下确肝界定义及驱其唯一性菠。确界原咸理：任意 槐非空集合E∈R若熟有上界/ 不下界，则 数其必有上往确界/下夜确界沫毫网毛丘确冬锁 林尖迅放侍难 。询
定馆理1 （优确界原理赌）： 每震一个非空主且有上（砖下）界的姜实数集必蹲然存在上奸（下）确青界。这个衬定理的重务要性不言养而喻，它仆为后续的落极限理论创提供了坚艇实的数学英基础。在晕深入理解蓬实数集的互结构和性乖质时，确质界原理如住同一座桥姑梁，连接宿了数集的卫有界性与严极限概念伙，引导我碑们探索数梳学世界的马无穷深邃舟。诸
蜜
是的碍。有界函 闸数是设f否（x）是供区间E上气的函数，几若对于任谦意的x属蚕于E，存叉在常数m一、M，使止得m≤f着（x）≤M，则称f（x）饼是区间E消上的有界 葱函数。其 汉中m称为f（x）他在区间E试上的下界屑，M称为f（x）哨在区间E 脚上的上界诗。税
哑如果有上 况界，上界蹈将有无数盼个，同理翁，如果有窃下界，下熔界也将有切无数个。易先来看有雨界的定义龙，及其中厕上下界的嘉定义：设f（x）大是区间E中上的函数欠。若对于衔任意的x焰属于E，义存在常数m、M， 拾使得m≤f（x）侄≤M，则悉称f（x钥）是区间E上的有误界函数。丹其中m称吞为f（x 针）在区间E上的下妖界，M称 飞为f（x惹）在区间E上的上们界。
所有的 宜上界中，橡2是最小聋的。所以枪1是这个沙函数的下 属确界，尽挺管1不是牵这个函数计的最小值 裳摆 尸抗勤崖受桂郑碰挡屡宰 巧 2是这强个函数的境上确界，轻尽管2不盗是这个函透数的最大畏值。
有的函口数在定义头域的部分贯区间上可省能是有界机的。例如晓，一次函煤数y=2x+1，韵定义域（ 箱-∞，+相∞），值伪域（-∞蛮，+∞）泳.它在定街义域（-虑∞，+∞梁）上是无倘界的。但把是它在区刘间（-1伤，2）上百，值域（溪-1，5馋），它是狂有界的。耀事实上，给它在定义双域的任意露的真子集添上都是有敲界的。爽
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